Biographie de Catherine de Sienne écrite par son confesseur Raymond de Capoue. Au-delà de son interêt biographique, cet ouvrage constitue également un témoignage sur la vie et les moeurs du XIVe siècle.
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Quatrième de couverture
"Il y avait dans la cité de Sienne, en Toscane..."
Ainsi commence l'histoire de Catherine de Sienne conçue, dans cet ouvrage, d'abord dans un but apologétique et mystique.
L'auteur, le bienheureux Raymond de Capoue, biographe et confesseur de Catherine, véritable témoin de la vie et des moeurs du XIVe siècle, qui a mis dans ces pages tout son talent tout son amour, sa sincérité, son humilité, sa connaissance du cour humain et de la vie divine, nous livre là une ouvre vivante, pleine de charme, qui nous saisit. Il n'y a dans ce livre, comme l'a voulu le bienheureux Raymond de Capoue, "aucune fiction, aucune invention".
Catherine de Sienne, une âme tout entière livrée au souffle de l'Esprit, nous expose sa doctrine féconde.
Une vie prodigieuse.
Théorème de la bijection
Ce théorème n'est pas vrai sur les nombres rationnels, ce qui a empêché une construction rigoureuse de l'analyse jusqu'au xixe siècle. Pour une approche rigoureuse, il a fallu attendre les travaux de Dedekind et de Cauchy qui ont fourni une construction des nombres réels.
Théorème de la bijection entre segments — Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a, b] et à valeurs réelles, alors elle constitue une bijection entre [a, b] et l'intervalle fermé dont les bornes sont f(a) et f(b).
Démonstration
Notons J cet intervalle fermé, c'est-à-dire l'ensemble des réels compris entre f(a) et f(b).
- La monotonie de la fonction implique que l'image de l'intervalle [a, b] est contenue dans J :
- si f est croissante, pour tout x de [a, b] on a f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) ;
- si f est décroissante, pour tout x de [a, b] on a f(b) ≤ f(x) ≤ f(a).
- Le fait que cette monotonie soit stricte assure que deux réels distincts ne peuvent avoir la même image, autrement dit la fonction est injective sur [a, b].
- Enfin, le théorème des valeurs intermédiaires (qui s'appuie sur l'hypothèse de continuité) garantit que tout élément de J admet au moins un antécédent par f , c'est-à-dire que la fonction est surjective dans J.
Formulation équivalente
Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a, b] alors, pour tout réel k dans J, il existe une unique solution à l'équation f(x) = k d'inconnue x dans [a, b]. En outre, cette équation n'a pas de solution sur [a, b] pour les autres valeurs de k.
Sur un intervalle quelconque
Forme de l'intervalle image en fonction du sens de la monotonie de et de la forme de l'intervalle de départ.
Le théorème se généralise à des intervalles ouverts ou semi-ouverts, l'intervalle étant alors un intervalle de même nature, avec des bornes pouvant être finies ou infinies. L'existence des limites de la fonction aux bornes de l'intervalle est assurée par la monotonie : il s'agit alors des bornes supérieure et inférieure des valeurs de la fonction sur cet intervalle.
Cette généralisation peut être ramenée à la formulation suivante :
Théorème — Si est continue et strictement monotone sur un intervalle de bornes et (finies ou infinies), pour tout réel strictement compris entre les limites de en et en , il existe un unique de tel que , autrement dit l'équation admet une unique solution dans .
Applications
